数学圆锥曲线题设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 15:18:47

数学圆锥曲线题
设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=√21/7,O为坐标原点 ①求椭圆C的方程 ②过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明：点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值

设椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=√21/7,O为坐标原点 ①求椭圆C的方程 ②过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明：点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值
①e=c/a=1/2,故a=2c.(1)
∣(c/a)-1∣/√(1/a²+1/b²)=√21/7,即有∣(1/2)-1∣=(√21/7)√(1/a²+1/b²)；
1/4=(21/49)(1/a²+1/b²)；49a²b²=84(a²+b²)；49a²(a²-c²)=84(2a²-c²)；
49(a²-c²)=84(2-e²)=84(2-1/4)=147,49(3c²)=147,故c²=147/147=1；
于是得a=2,a²=4；b²=3；故得椭圆的解析式为x²/4+y²/3=1
②设A(x₁,y₁)；B（x₂,y₂)；由于向量OA⊥OB,故OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=0.(2)
设AB所在直线的方程为y=kx+b,代入椭圆方程得x²/4+(kx+b)²/3=1；
则有3x²+4(kx+b)²-12=(3+4k²)x²+8kbx+4b²-12=0；
x₁+x₂=-8kb/(3+4k²)
x₁x₂=(4b²-12)/(3+4k²)
y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2b=-8k²b/(3+4k²)+2b=6b/(3+4k²)
y₁y₂=(kx₁+b)(kx₂+b)=k²x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²
=k²(4b²-12)/(3+4k²)-8k²b²/(3+4k²)+b²=(-12k²+3b²)/(3+4k²)
将x₁x₂与y₁y₂之值代入(2)式得：
(4b²-12)/(3+4k²)+(-12k²+3b²)/(3+4k²)=0
即有7b²-12k²-12=0.(3)
故得b=±√[(12k²+12)/7]=±√[(12/7)(1+k²)],代入直线AB的方程得y-kx±√[(12/7)(1+k²)=0
故原点到AB的距离d=∣±√[(12/7)(1+k²)]∣/√(1+k²)=√(12/7)=常量.
弦长AB的最小值发生在x=±√[(12/7),AB⊥x轴的时候；将x=±√[(12/7)代入椭圆方程得：
(12/7)/4+y²/3=1,y²=3(1-3/7)=12/7,∣y∣=√(12/7),弦长∣AB∣=2∣Y∣=2√(12/7)=4√(3/7)

数学圆锥曲线题设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b= 设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=√ 设椭圆C:x^2/a^+ y^2/b^2=1(a>b>0) 的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+ y/b=1的距离d 设椭圆C:x^2/a^2+Y^2/b^2=1的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离等于根号21/7,O 设椭圆C：x2/a2 + y2/b2 = 1 (a＞b＞0)的离心率 e = 1/2 ,右焦点到直线 x/a + y/b 已知F(c,0)是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点,设b>c,则椭圆的离心率e的取值范围已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,右焦点到直线x/a+b/y=1的距离d=√ 高二圆锥曲线题已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率e=1/2 ,且原点O到直线 x/a 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,右焦点到直线l1；3x+4y=0的距离为3 圆锥曲线椭圆椭圆y^2/a^2+x^2/b^2的两个焦点为F1(0,-c)F2(c,0),离心率e=√3/2,焦点到椭圆已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,右焦点到直线x+y+√6=0