已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点（1）求点A1到平面EBFD1的距离

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 13:55:43

已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点（1）求点A1到平面EBFD1的距离
（2）求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值

如图所示,取BB1的中点G,过G作GH⊥D1B于H
因为EBFD1关于D1B轴对称,且与面D1BB1垂直,所以GH等于A1到面EBFD1的距离
因为D1B=√3 a , D1B1=√2 a , 所以sin∠D1BB1=√6 /3
又由于GB=a/2 , GH/GB=sin∠D1BB1=√6 /3
所以GH=√6a/6
即求A1到平面EBFD1的距离是√6a/6
（2）向量法

建立以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的空间直角坐标
A1(a,0,a)D1(0,0,a) B(a,a,0) E(a,0,1/2a)
向量D1A1=（a,0,0)
向量D1E=(a,0,-1/2a)

向量D1B=(a,a,-a)

设向量a是平面EBFD1的法向量
向量a·向量D1E=0

向量a·向量D1B=0

不妨设向量a=(a,a,2a)
cos<向量D1A1,向量a>
=a^2/√a^2*√(6a^2)=√6/6
A1D1与平面EBFD1所成角的正弦值=√（1-1/6）=√30/6
再问： EBFD1关于D1B轴对称，且与面D1BB1垂直，之后为什么GH就等于A1到面EBFD1的距离？
再答：

我画了一个剖面图，这回能理解了吗KI，GH都是点A1到平面EBFD1的距离

已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 （1）求点A1到平面EBFD1的距离

已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点（1）求点A1到平面EBFD1的距离