百度作业网求助一道高等代数多项式的问题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 17:16:30
求助一道高等代数多项式的问题
证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数
证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数
若n=2m
f(x)=(x^(8m+4)-1)/(x^4-1)
=(x^(4m+2)-1)(x^(4m+2)+1)/(x^4-1)
=(1+x^2+x^4+...+x^4m)(x^(4m+2)+1)/(x^2+1)
=g(x)*[(x^2)^(2m+1)+1]/(x^2+1),而x^2+1整除[(x^2)^(2m+1)+1],所以g(x)整除f(x).
反过来,一个反例即可：n=1时g(x)=1+x^2,f(x)=1+x^4,g(x)不整除f(x).
证毕.
f(x)=(x^(8m+4)-1)/(x^4-1)
=(x^(4m+2)-1)(x^(4m+2)+1)/(x^4-1)
=(1+x^2+x^4+...+x^4m)(x^(4m+2)+1)/(x^2+1)
=g(x)*[(x^2)^(2m+1)+1]/(x^2+1),而x^2+1整除[(x^2)^(2m+1)+1],所以g(x)整除f(x).
反过来,一个反例即可：n=1时g(x)=1+x^2,f(x)=1+x^4,g(x)不整除f(x).
证毕.