在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1上一点，且DE=13

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/17 13:12:53

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁上一点，且DE=

如图：分别在CC₁、C₁D₁上取点N、M，使得CN＝
1
3CC1，D1M＝
1
3D1C1，连接B₁N、B₁M，则MN∥CD₁，
∵BC∥AD，BC=AD，AD∥A₁D₁，AD=A₁D₁，∴BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四边形BCD₁A₁为平行四边形，则CD₁∥BA₁，
∴MN∥BA₁，
∵CN＝
1
3CC1，DE=
1
3DD₁，∴NE∥C₁D₁，NE=C₁D₁，
又C₁D₁∥A₁B₁，C₁D₁=A₁B₁，
∴NE∥A₁B₁，NE=A₁B₁，
∴四边形NEA₁B₁为平行四边形，则B₁N∥A₁E，
且MN∩B₁N=N，
∴平面MNB₁∥平面A₁BE，
∵B₁F∥平面A₁BE，点F必在线段MN上，
连接C₁F，∵B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴∠B₁FC₁即为B₁F与平面CDD₁C₁所成角，
设正方体棱长为3，则C₁N=C₁M=2，当F为MN中点时，C₁F最短为
2，
当F与M或N重合时，C₁F最长为2，
tan∠B₁FC₁=
B1C1
C1F＝
3
C1F∈[
3
2，
3
2
2]，即所求正切值的取值范围是[
3
2，
3
2
2]．
故答案为：[
3
2，